¿El Algebra Lineal tiene puntos de contacto con el Cálculo? (Ampliación de una propuesta de tratar dos temas en uno) (página 2)

Teorema de
Fermat

Si es un punto de extremo local de una función

y en dicho punto están definidas todas las
derivadas
parciales de primer orden de

entonces

.

Como se ve este teorema solo expresa condiciones
necesarias de existencia de puntos de extremo local bajo el
supuesto de que la función tiene derivadas parciales
respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es
suficiente pero no necesario que la función sea
diferenciable). A los puntos que anulan todas las parciales de
primer orden se les denomina puntos críticos
estacionarios.

Análogamente al caso de una variable existen en
el caso de dos o más variables
puntos estacionarios que no son puntos de extremo
local.

Entonces, ¿Cómo saber si un punto
estacionario es realmente un punto de extremo local?

Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de
existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden
expresarse en términos de determinantes de matrices
reales simétricas o en términos de valores
propios de tales matrices.

Recordemos que:

Si A es una matriz
cuadrada de orden nXn con elementos en un cuerpo K e I es la
matriz identidad del
mismo orden que A entonces al polinomio definido por el determinante
se le
denomina polinomio característico de A y a sus ceros o
raíces pertenecientes a K se les denomina valores
propios, auto valores o valores característicos de A. En
el caso de matrices reales simétricas sus valores propios
son siempre reales .Que sea un valor propio
de A significa que existe al menos un vector no nulo tal que.

De igual manera que una matriz cuadrada de orden nXn
define una función lineal (endomorfismo u operador lineal)
del espacio vectorial en sí mismo pues toda matriz real
simétrica define una forma cuadrática real a la
cual representa en la base canónica. Dicha forma
cuadrática es una función definida por.

En el caso de funciones reales
de varias variables las cuales tengan segunda derivadas parciales
continuas pues la segunda diferencial es una forma
cuadrática en la cual admite como representación en la
base canónica la llamada matriz
hessiana de la correspondiente función de varias
variables. En Algebra Lineal se
estudian clasificaciones de las formas cuadráticas
según el signo de los valores
propios de la matriz canónica correspondiente. Pues bien
según el signo de la forma cuadrática que
constituye la segunda diferencial de una función con
segundas derivadas parciales continuas se logran enunciar
condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de
extremos locales o relativos. Este teorema solo lo enunciaremos
para el caso de tres variables pero perfectamente puede ser
enunciado en forma general.

Hágalo!

Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para
la existencia de puntos de extremo local)

Sea una función con segundas derivadas parciales
continuas en el punto estacionario.

Sea la matriz

llamada Hessiana deen.

1. Si todos los valores propios de M son positivos
   es un
   punto de mínimo local.
2. Si todos los valores propios de M son negativos
   es
   un punto de máximo local.

   de extremo local.

3. Si todos los valores propios de M son no negativos
   es
   un punto de mínimo local o no es un punto

   de extremo local.

4. Si todos los valores propios de M son no positivos
   es un
   punto de mínimo local o no es un punto
5. Si los valores propios de M son al menos uno positivo
   y otro negativo pero ninguno nulo entonces

no es un punto de extremo local

Notas:

Este teorema puede ser enunciado en términos del
determinante de la matriz Hessiana y sus menores principales lo
cual desde el punto de vista algebraico no es otra cosa que la
aplicación del Criterio de Sylvester para determinar el
signo de una forma cuadrática.

Obsérvese que el teorema solo permite determinar
el carácter de un punto crítico
estacionario por lo que si el punto crítico no es
estacionario hay que recurrir a investigaciones
complementarias.

Ludwig Otto Hess
(1811-1874)

El hessiano, conocido también como discriminante
o matriz hessiana, fue introducido en el año de 1844 por
Hesse, matemático alemán quien nació en 1811
y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl
Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) introdujera "los jacobianos". Lo
que hizo Jacobi con esto fue expresar los cambios de variable de
las
integrales
múltiples en términos de estos.

Respecto a los detalles biográficos de Ludwig
Otto Hess se sabe que nació precisamente en
Konigsberg,
Alemania (aunque
actualmente es
Rusia) el 22 de abril de
1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal (Konigsberg),
donde se desempeñó primero como maestro de
física y química y posteriormente
como
profesor. En 1856 se
trasladó a Heidelberg, donde permaneció doce
años, antes de tomar un puesto en Munich, donde
falleció el 4 de agosto de 1874.

Ludwig Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que
introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas
cúbicas y cuadráticas.

A continuación muestro algunos ejemplos en cada
uno de los cuales se desea determinar los puntos de extremo local
de una función polinomial en por lo que ya tenemos garantizado
que:

• El dominio de la
  función es todo
• La función es diferenciable por lo que los
  únicos candidatos a puntos de extremo son los puntos
  estacionarios debido a lo cual de no haber puntos estacionarios
  pues no habría extremos locales.

a)

En este caso

Hallemos los puntos estacionarios para lo cual tenemos
que resolver el sistema lineal
de ecuaciones:

Este
sistema es compatible determinado y su solución
es.

Investiguemos el cumplimiento de las condiciones
suficientes conformando la matriz Hessiana.

Esta matriz es diagonal por lo que sus valores
propios son sus entradas o elementos diagonales. Como
los valores propios son no nulos y de diferente signo pues el
punto estacionario encontrado no es punto de extremo
local.

Nota: Los puntos estacionarios que no son puntos
de extremo local se denominan puntos de
ensilladura.

b)

En este caso

Resolviendo el sistema compatible
determinado

obtenemos el punto estacionario

La matriz Hessiana es

cuyos valores propios son todos iguales a
2(Compruébelo!!) por lo que el punto es un punto
de mínimo local.

c)

En este caso

mas tenemos que resolver el sistema

el cual tiene exactamente dos soluciones las
cuales son

Las matrices Hessianas son

y

Los valores característicos de son 6,4 y 16
mientras que los de son -6,4 y 16 por lo que el primero de los
puntos estacionarios es un punto de mínimo local y
segundo no es ni de mínimo ni de
máximo.

Te proponemos investigues en los incisos
siguientes(algunos de los cuales se resuelven) la existencia de
extremos locales.

d)

Respuesta:

Hallemos las derivadas parciales
primeras.

Para hallar los puntos críticos
estacionarios resolvemos el SEL obtenido a igualar a
cero las derivadas parciales y simultaneando las
ecuaciones obtenidas obteniéndose un SEL compatible
determinado cuya solución es (1;
0;-1).

¿Será este punto estacionario
un punto de extremo relativo?

Hallemos las derivadas parciales de segundo
orden evaluadas en el punto estacionario y conformemos
la Matriz Hessiana obteniéndose la
matriz

cuyo polinomio característico tiene las
raíces o ceros: por lo que todos los valores propios de
esta matriz son positivos o sea es una matriz simétrica
real definida positiva lo que implica que el punto
estacionario es un punto de mínimo
local.

e)

f)

g)

h)

Respuesta:

Hallemos las derivadas parciales
primeras.

Para hallar los puntos
críticos estacionarios resolvamos el sistema
obtenido a igualar a cero las derivadas parciales y
simultaneando las ecuaciones obtenidas
obteniéndose (1/2; -2; 0).

¿Será este punto estacionario
un punto de extremo relativo?

Procediendo en forma análoga para
conformar la Matriz Hessiana se obtiene la
matriz

cuyo polinomio característico
tiene las raíces o ceros: por lo que todos los
valores propios de esta matriz son no negativos
pero uno de ellos nulo o sea es una matriz
simétrica real semi definida positiva lo
que implica que el punto estacionario o es un punto
de mínimo local o es de silla.

i)

j)

Considero conveniente resaltar que en muchos
casos la
investigación del cumplimiento de estas condiciones
suficientes no son muy recomendables debido a la
complicación algebraica de la expresión
analítica de la función.

Ejemplo:

En los casos en los que al menos uno de los
valores propios sea nulo pues para poder
decidir habría que recurrir a otros recursos entre
los cuales se encuentran criterios de suficiencia los que a su
vez involucran derivadas parciales de orden superior al
segundo.

Conclusiones

Con este material he pretendido mostrar
cómo ciertos resultados que se tienen para funciones
reales de dos o más variables reales y que tienen una
estrecha relación con tópicos del Algebra
Lineal.

Autor:

Alejandro Martínez
Castellini

Universidad de Ciencias
Informáticas – Facultad 7

La Habana

– 2008-